Tatew stoi na skraju bazaltowego płaskowyżu, nad przepaścią, pod którą Worotan wyżłobił wąwóz głęboki na kilkaset metrów. Z murów klasztoru widać wąwóz, łańcuchy gór Sjuniku i serpentyny drogi, która schodzi na dno i wspina się z powrotem. Na tym płaskowyżu w czasach pogańskich stała świątynia. Po chrystianizacji Armenii w IV w. zastąpił ją kościół. W IX w. Tatew został siedzibą biskupów Sjuniku. Główny kościół św. Pawła i Piotra zbudowano w latach 895–906 dzięki książętom Sjuniku. Nazwę klasztoru tradycja wywodzi od Eustatego, ucznia apostoła Tadeusza. Ludowa legenda opowiada o uczniu budowniczego, który spadł z kopuły w przepaść. W locie wołał do Boga „Ta tew!”, czyli „Daj skrzydła!”, i wylądował cały.

Na początku XI w. w Tatewie żyło podobno ok. tysiąca mnichów. Potem przychodziły klęski. W 1044 r. klasztor złupili emirowie z sąsiedztwa, w 1136 r. zniszczyło go trzęsienie ziemi, a w 1170 r. Seldżucy spalili ok. 10 tys. rękopisów. Odbudował go pod koniec XIII w. Stepanos Orbelian, metropolita Sjuniku i autor kroniki tej krainy. W XIV–XV w. działał tu uniwersytet, jeden z najważniejszych w średniowiecznej Armenii. Uczono teologii, filozofii, sztuki przepisywania i iluminowania ksiąg. Jego największym nauczycielem był Grigor Tatewaci (1346–1409), uznany później przez Kościół ormiański za świętego. Najazdy Timura w latach 1381–1387 i Szahrucha w 1434 r. znów złupiły klasztor. W 1931 r. trzęsienie ziemi zawaliło kopułę kościoła i dzwonnicę.

W klasztorze zwraca uwagę Gawazan, ośmioboczna kolumna z X w., zwieńczona chaczkarem. Wystarczy ją pchnąć, żeby się kołysała. Kolumna przetrwała kolejne trzęsienia ziemi, a jak działa jej podstawa, objaśnia się różnie. Tatew to też miejsce ważne dla współczesnej historii Armenii. 26 kwietnia 1921 r. zjazd w klasztorze ogłosił niepodległość Górskiej Armenii z Garegynem Nżdehem na czele, ostatniego skrawka kraju, który bronił się przed bolszewikami.

Od 2010 r. do klasztoru można też przylecieć. Kolejka linowa „Skrzydła Tatewu” biegnie z wsi Halidzor przez wąwóz, ma 5752 m długości i wisi do 320 m nad dnem. Przejazd trwa ok. 12 minut, a drogą jedzie się ok. 40 minut. Kolejka trafiła do Księgi Rekordów Guinnessa jako najdłuższa wahadłowa kolejka z jednym odcinkiem. Zysk z niej idzie na odnowę klasztoru i wsi.